进阶算法—图论篇

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public class BFS {
    public static void bfs(Node node){
        if (node==null){
            return;
        }
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        //处理环，标记是否使用过
        HashSet<Node> set = new HashSet<>();
        queue.add(node);
        set.add(node);
        while (!queue.isEmpty()){
            Node cur = queue.poll();
            System.out.println(cur.value);
            for(Node next: cur.nexts){
                if (!set.contains(next)){
                    set.add(next);
                    queue.add(next);
                }
            }
        }
    }
}

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DFS模板

void dfs(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本节点所连接的其他节点) {
        处理节点;
        dfs(图，选择的节点); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

DFS 与 BFS 区别

深度优先搜索（dfs），和广度优先有什么区别（bfs）

dfs是可一个方向去搜，不到黄河不回头，直到遇到绝境了，搜不下去了，在换方向（换方向的过程就涉及到了回溯）。
bfs是先把本节点所连接的所有节点遍历一遍，走到下一个节点的时候，再把连接节点的所有节点遍历一遍，搜索方向更像是广度，四面八方的搜索过程。

dfs 搜索过程

上面说道dfs是可一个方向搜，不到黄河不回头。那么我们来举一个例子。

如图一，是一个无向图，我们要搜索从节点1到节点6的所有路径。

图一

那么dfs搜索的第一条路径是这样的：（假设第一次延默认方向，就找到了节点6），图二

图二

此时我们找到了节点6，（遇到黄河了，是不是应该回头了），那么应该再去搜索其他方向了。如图三：

图三

路径2撤销了，改变了方向，走路径3（红色线），接着也找到终点6。那么撤销路径2，改为路径3，在dfs中其实就是回溯的过程（这一点很重要，很多录友不理解dfs代码中回溯是用来干什么的）

又找到了一条从节点1到节点6的路径，又到黄河了，此时再回头，下图图四中，路径4撤销（回溯的过程），改为路径5。

又找到了一条从节点1到节点6的路径，又到黄河了，此时再回头，下图图五，路径6撤销（回溯的过程），改为路径7，路径8 和路径7，路径9，结果发现死路一条，都走到了自己走过的节点。

图五

那么节点2所连接路径和节点3所链接的路径都走过了，撤销路径只能向上回退，去选择撤销当初节点4的选择，也就是撤销路径5，改为路径10 。如图图六：

图六

上图演示中，其实我并没有把所有的从节点1 到节点6的dfs（深度优先搜索）的过程都画出来，那样太冗余了，但已经把dfs 关键的地方都涉及到了，关键就两点：

搜索方向，是认准一个方向搜，直到碰壁之后在换方向
换方向是撤销原路径，改为节点链接的下一个路径，回溯的过程。

岛屿问题

我们所熟悉的 DFS（深度优先搜索）问题通常是在树或者图结构上进行的。而我们今天要讨论的 DFS 问题，是在一种「网格」结构中进行的。岛屿问题是这类网格 DFS 问题的典型代表。网格结构遍历起来要比二叉树复杂一些，如果没有掌握一定的方法，DFS 代码容易写得冗长繁杂。

网格问题的基本概念
我们首先明确一下岛屿问题中的网格结构是如何定义的，以方便我们后面的讨论。

网格问题是由m×n 个小方格组成一个网格，每个小方格与其上下左右四个方格认为是相邻的，要在这样的网格上进行某种搜索。

岛屿问题是一类典型的网格问题。每个格子中的数字可能是 0 或者 1。我们把数字为 0 的格子看成海洋格子，数字为 1 的格子看成陆地格子，这样相邻的陆地格子就连接成一个岛屿。

在这样一个设定下，就出现了各种岛屿问题的变种，包括岛屿的数量、面积、周长等。不过这些问题，基本都可以用 DFS 遍历来解决。

DFS 的基本结构

网格结构要比二叉树结构稍微复杂一些，它其实是一种简化版的图结构。要写好网格上的 DFS 遍历，我们首先要理解二叉树上的 DFS 遍历方法，再类比写出网格结构上的 DFS 遍历。我们写的二叉树 DFS 遍历一般是这样的：

void traverse(TreeNode root) {
    // 判断 base case
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 访问两个相邻结点：左子结点、右子结点
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

可以看到，二叉树的 DFS 有两个要素：「访问相邻结点」和「判断 base case」。

第一个要素是访问相邻结点。二叉树的相邻结点非常简单，只有左子结点和右子结点两个。二叉树本身就是一个递归定义的结构：一棵二叉树，它的左子树和右子树也是一棵二叉树。那么我们的 DFS 遍历只需要递归调用左子树和右子树即可。

第二个要素是判断 base case。一般来说，二叉树遍历的 base case 是 root == null。这样一个条件判断其实有两个含义：一方面，这表示 root 指向的子树为空，不需要再往下遍历了。另一方面，在 root == null 的时候及时返回，可以让后面的 root.left 和 root.right 操作不会出现空指针异常。

对于网格上的 DFS，我们完全可以参考二叉树的 DFS，写出网格 DFS 的两个要素：

首先，网格结构中的格子有多少相邻结点？答案是上下左右四个。对于格子 (r, c) 来说（r 和 c 分别代表行坐标和列坐标），四个相邻的格子分别是 (r-1, c)、(r+1, c)、(r, c-1)、(r, c+1)。换句话说，网格结构是「四叉」的

其次，网格 DFS 中的 base case 是什么？从二叉树的 base case 对应过来，应该是网格中不需要继续遍历、grid[r][c] 会出现数组下标越界异常的格子，也就是那些超出网格范围的格子。

这一点稍微有些反直觉，坐标竟然可以临时超出网格的范围？这种方法我称为「先污染后治理」—— 甭管当前是在哪个格子，先往四个方向走一步再说，如果发现走出了网格范围再赶紧返回。这跟二叉树的遍历方法是一样的，先递归调用，发现 root == null 再返回。

这样，我们得到了网格 DFS 遍历的框架代码：

void dfs(int[][] grid, int r, int c) {
    // 判断 base case
    // 如果坐标 (r, c) 超出了网格范围，直接返回
    if (!inArea(grid, r, c)) {
        return;
    }
    // 访问上、下、左、右四个相邻结点
    dfs(grid, r - 1, c);
    dfs(grid, r + 1, c);
    dfs(grid, r, c - 1);
    dfs(grid, r, c + 1);
}

// 判断坐标 (r, c) 是否在网格中
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
    return 0 <= r && r < grid.length 
        	&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}

如何避免重复遍历

网格结构的 DFS 与二叉树的 DFS 最大的不同之处在于，遍历中可能遇到遍历过的结点。这是因为，网格结构本质上是一个「图」，我们可以把每个格子看成图中的结点，每个结点有向上下左右的四条边。在图中遍历时，自然可能遇到重复遍历结点。

这时候，DFS 可能会不停地「兜圈子」，永远停不下来

如何避免这样的重复遍历呢？答案是标记已经遍历过的格子。以岛屿问题为例，我们需要在所有值为 1 的陆地格子上做 DFS 遍历。每走过一个陆地格子，就把格子的值改为 2，这样当我们遇到 2 的时候，就知道这是遍历过的格子了。也就是说，每个格子可能取三个值：

0 —— 海洋格子
1 —— 陆地格子（未遍历过）
2 —— 陆地格子（已遍历过）
我们在框架代码中加入避免重复遍历的语句：

void dfs(int[][] grid, int r, int c) {
    // 判断 base case
    if (!inArea(grid, r, c)) {
        return;
    }
    // 如果这个格子不是岛屿，直接返回
    if (grid[r][c] != 1) {
        return;
    }
    grid[r][c] = 2; // 将格子标记为「已遍历过」
    
    // 访问上、下、左、右四个相邻结点
    dfs(grid, r - 1, c);
    dfs(grid, r + 1, c);
    dfs(grid, r, c - 1);
    dfs(grid, r, c + 1);
}

// 判断坐标 (r, c) 是否在网格中
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
    return 0 <= r && r < grid.length 
        	&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}

拓扑排序

根据一张有向无环图，把所有要做的事整理出一个顺序

首先以一个入度为0的点作为起点进行搜索，用完之后删除该点和与之相关的边再以下一个入度为0的点进行搜索。

public class TopologySort {
    public static List<Node> sorted(Graph graph){
            //某一个Node,剩余的入度
        HashMap<Node, Integer> inMap = new HashMap<>();
        //入度为0的点才能进入该队列
        Queue<Node> zero = new LinkedList<>();
        for(Node node:graph.nodes.values()){
            inMap.put(node,node.in);
            if (node.in==0){
                zero.add(node);
            }
        }
        List<Node> result = new ArrayList<>();
        while (!zero.isEmpty()){
            Node cur = zero.poll();
            result.add(cur);
            for (Node next:cur.nexts){
                inMap.put(next,inMap.get(next)-1);
                if (inMap.get(next)==0){
                    zero.add(next);
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

进阶算法—图论篇

https://yztldxdz.top/2022/12/02/进阶算法—图论篇/

发布于

2022年12月2日

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