01背包问题
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
例子：
背包最大重量为4。
物品为：
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重量 |
价值 |
| 物品0 |
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| 物品1 |
3 |
20 |
| 物品2 |
4 |
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问背包能背的物品最大价值是多少？
二维dp数组01背包
1.确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3.dp数组如何初始化
如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
4.确定遍历顺序
有两个遍历的维度：物品与背包重量
先遍历谁都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
先遍历物品，然后遍历背包重量
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for(int i = 1; i < weight.size(); i++) {
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) {
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
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先遍历背包，再遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagweight; j++) {
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) {
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
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5.举例推导dp数组
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
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public static void testweightbagproblem(int[] weight, int[] value, int bagsize){
int wlen = weight.length, value0 = 0;
int[][] dp = new int[wlen + 1][bagsize + 1];
for (int i = 0; i <= wlen; i++){
dp[i][0] = value0;
}
for (int i = 1; i <= wlen; i++){
for (int j = 1; j <= bagsize; j++){
if (j < weight[i - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
}
}
}
for (int i = 0; i <= wlen; i++){
for (int j = 0; j <= bagsize; j++){
System.out.print(dp[i][j] + " ");
}
System.out.print("\n");
}
}
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一维dp数组（滚动数组）
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
1.确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2.一维dp数组的递推公式
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
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| dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
3.一维dp数组如何初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
4.一维dp数组遍历顺序
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| for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
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倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
5.举例推导dp数组
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public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 0; i < wLen; i++){
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}
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思路
416. 分割等和子集
思路
1049. 最后一块石头的重量 II
思路
494. 目标和
三维DP
思路
一和零
思路
盈利计划
完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。体现在遍历顺序上
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
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private static void testCompletePack(){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 0; i < weight.length; i++){
for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
for (int maxValue : dp){
System.out.println(maxValue + " ");
}
}
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private static void testCompletePackAnotherWay(){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){
for (int j = 0; j < weight.length; j++){
if (i - weight[j] >= 0){
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
}
}
}
for (int maxValue : dp){
System.out.println(maxValue + " ");
}
}
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求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
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| for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
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如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
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for (int i = 0; i <=target; i++) {
for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
if (i>=nums[j]){
dp[i]+=dp[i-nums[j]];
}
}
}
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思路
518. 零钱兑换 II
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表面是组合实际是求排列
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322. 零钱兑换
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139. 单词拆分
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数位成本和为目标值的最大数字
